微积分的全部魔法，都藏在这句话里：我不关心"到了"，只关心"正要去哪"。
考虑这台机器：
往里塞 x = 1 会怎样？分母变成 0——机器当场爆炸，f(1) 根本不存在。图像上 x = 1 的位置是一个洞。
但微积分问了一个刁钻的问题：我不问"f(1) 是多少"，我问——当 x 无限接近 1（但永远不踩上去）时，f(x) 的值在往哪儿走？
你自己试试就知道了：
先玩上面的函数：拖两个滑块，让 x 从左边和右边一步步逼向 1。表格会告诉你 f(x) 在去哪儿。然后切到 1/x，看看什么叫"极限不存在"。
读作："x 趋向 1 时，这个式子趋向 2"。注意两个关键词都是趋向——x 没到 1，f(x) 也没到 2，但它们都在义无反顾地奔向各自的目标。极限关心的是目的地，不是现场。f(1) 存不存在、等于几，跟极限毫无关系。
从左边逼近得到左极限，从右边逼近得到右极限。规则只有一条：
还有第三种不存在：极限是存在的（两边奔向同一个数），但函数在那个点没定义——就像 (x²−1)/(x−1)，洞不碍事，极限照样等于 2。这就是极限最宽容的地方：它只看行为趋势，不看那一瞬间。
你的直觉可能是"x 离 1 越近，f(x) 离 2 越近"。严格版是：你想让 f(x) 离 2 多近都行，比如误差小于 0.0001——那我就把 x 卡在离 1 足够近的范围内，保证做到。这种"你出难题我总能接"的保证，才是数学上"极限 = 2"的真正含义。原书附录 A 讲这个 ε-δ 定义，第一遍可以跳过，完全不影响后面学习。
Q1limx→1x²−1x−1 存在吗？
Q2limx→0 1/x 存在吗？
Q3已知 f(3) = 7，但 limx→3 f(x) = 5。这两句话矛盾吗？