第 4 章 · 对应原书 Chapter 4

求多项式极限的套路

概念你已经懂了，这一章纯教"手艺"——遇到题往三个框里套。

4.1 第一板斧：直接代入

多项式（没有分母、没有根号的那种）是极限世界里最乖的公民——直接代入就完事：

lim_x→2 (x³ − 4x + 1) = 8 − 8 + 1 = 1

乘积、和、幂都可以拆开算。为什么敢这么直白？因为多项式图像是连着的，没有洞没有跳崖，"趋向"和"到达"是同一件事。

麻烦从有理函数（分式）开始：代入后发现分母是 0，比如上一章那台机器 (x²−1)/(x−1) 在 x=1 处。记住这个判断顺序：

代入得 0/0 → 这叫未定式，不代表极限不存在，只代表"还没化简，看不出来"。
代入得 非零/0（如 5/0）→ 直接宣布：极限不存在（奔向无穷）。
0/非零（如 0/5）→ 极限就是 0。

0/0 的解法：把 0 从分子分母里约出去。

交互模型 6

求 lim_x→2x² − 5x + 6x − 2 。一步步点，看它现出原形。

x 趋向无穷大时，套路反过来：别管常数和低次项，只比谁次数高。

lim_x→∞3x² + 100x + 75x² − 9 = 35

为什么？x = 1,000,000 时，100x 才一亿，3x² 已经三万亿——低次项在最高次项面前就是零头。分子分母同除以 x²，小项全部蒸发，只剩系数之比。口诀：

x → ∞ 比次数：分子次数低 → 极限 0；分母次数低 → 极限 ∞（不存在）；次数一样 → 系数之比。

Q1lim_x→3x² − 9x − 3 = ?

x²−9 = (x−3)(x+3)，约掉 (x−3) 剩 x+3，代入 3 得 6。和演示机同款套路。

Q2lim_x→1x + 4x − 1 = ?

分子代入是 5，不是 0！这是"非零/0"，直接判死刑（奔向无穷）。注意它和 0/0 的区别——0/0 才有资格进分解手术室。

Q3lim_x→∞2x + 100x² + 1 = ?

分母是 x²（二次），分子是 x（一次）。次数低的输家，极限 = 0。x = 1000 时分子才 2100，分母已经一百万零一。