第 1 章 · 对应原书 Chapter 1
函数、图像和直线
一切的地基。这章听懂了，微积分就开工了。
1.1 函数是台机器
把函数想成一台香肠机：从左边塞进一头猪（输入），右边出来香肠（输出）。只要原料相同，出来的香肠永远相同——这就是函数的全部定义。
f(x) = x² 意思是：塞进去 3，出来 9；塞进去 −3，还是出来 9
两个黑话：定义域是"能塞什么进去"（塞猪可以，塞活人不行的部分叫定义域之外），值域是"能出什么"。比如 f(x)=x² 的值域永远 ≥ 0——这台机器吐不出负数。
1.2 图像：给机器拍 X 光
把每个输入和它的输出画成一个点 (x, f(x))，铺满整个平面，就是图像。上一章首页那个"垂直线验证"说的就是：一条竖线最多碰到图像一次，它才是函数——因为一台机器不能同时吐出两个结果。
交互模型 1
斜率实验：拖动两个点，看直线变形
拖动图中的 A、B 两个点。斜率 = 纵向走了多少 ÷ 横向走了多少（"爬山坡度"）。上坡为正，下坡为负。
1.3 直线的通用说明书：y = mx + b
任何一条（不竖直的）直线都能写成 y = mx + b：m 是斜率（坡度），b 是截距（x=0 时站的高度）。知道斜率和任意一个点，整条直线就被钉死了——这是后面"导数"的舞台：导数就是每个点的瞬时斜率。
本章小结
- 函数 = 每个输入只对应一个输出的机器（垂直线验证）
- 定义域管"能进什么"，值域管"能出什么"
- 斜率 m = 升 ÷ 跑，直线由 y = mx + b 完全描述
- 后面整本书都在回答一个问题：曲线在某一点的"斜率"是什么意思？——那就是导数
练习（点选项立刻判分）
Q1f(x) = x² − 1，那么 f(−2) = ?
(−2)² = 4——负数的平方是正数，这是文科生第一大坑。4 − 1 = 3。先平方，后减 1，别把括号拆散了。
Q2过点 (0, 2) 和 (4, 6) 的直线，斜率是多少？
m = (6 − 2) ÷ (4 − 0) = 4 ÷ 4 = 1。口诀：纵差除横差，谁减谁都行，但必须上下同序。
Q3y = x² 是不是函数？x = y² 呢？
y = x² 每个竖线碰一次，是函数。x = y² 里同一个 x（比如 4）对应 y = 2 和 y = −2 两个值——一台机器吐俩香肠，不是函数。它俩互为"镜像"——第 10 章讲反函数时你会再见到这个戏法。